12 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Si, au lieu de développer s 1 suivant les puissances de ÿ, on le

développe suivant les puissances de y — 1 , et que l’on désigne

par k. —1 ) , un terme quelconque de ce développement; ley J / ! \»

coefficient de t x dans ku. (y—il sera k.h n .y x ; on aura doncV‘.y x ; i° en substituant dans s, A y x au lieu de y —î, ou, ce quirevient au même, î + A.jj au lieu de y; 2° en développant ce

que devient alors s 1 suivant les puissances de A .y x , et en appli-quant à la caractéristique A les exposants des puissances de A.j x ,c’est-à-dire en écrivant A.y x au lieu de (A -y x )\ A s .y x au lieu de(A .y x )\ etc. et en multipliant par (A.j x )°, ou, ce qui est la mêmechose, par y x les termes indépendants de A.y x .

Généralement, si l’on considère s comme une fonction de r, r

étant une fonction de y, telle que le coellicient de t* dans ur, soit

□.y x ; on aura Y‘.j x , en substituant dans s, U-y x au lieu de r;en développant ensuite s' suivant les puissances de D-j*, et enappliquant à la caractéristique □, les exposants de □ .y x , c’est-à-dire en écrivant D.y x au lieu de □ ’.j* au lieu de (d.j x ) s , etc.;

et en multipliant par y x les termes indépendants de D-jx-

Le développement de Y‘.y x par une série ordonnée suivant lesvariations successives D-jx» etc - se réduit donc à la forma-

tion de la fonction génératrice de y x , au développement de cettefonction, suivant les puissances d’une fonction donnée; enfin, auretour de la fonction génératrice ainsi développée, aux coeffi-cients variables correspondants ; les exposants des puissances dudéveloppement de la fonction génératrice devenant ceux de lacaractéristique de ces coefficients. On voit ainsi l’analogie des puis-sances avec les différences, ou avec toute autre combinaison descoefficients variables consécutifs. Le passage de ces coefficientsà leurs fonctions génératrices, et le retour de ces fonctions dé-veloppées aux coefficients, constituent le calcul des fonctions