22 THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITES .

fraction se réduit à déterminer, quel que soit r, le coefficientde 0 r dans le développement de la fraction

a.0"4- b.6 n ~ l + c.6 n ~'. .. .4 - p.6 + q — z.6 n '

P

Pour cela, considérons généralement la fraction -q, P et Q étant

des fonctions rationnelles et entières de 6, la première étant d’unordre inférieur à la seconde. Supposons que Q ait un facteurf) — a élevé à la puissance s, en sorte que l’on ait

Q 7 (d-zV.Ii,

U étant une fonction rationnelle et entière de 0. On pourra dé-

composer la fraction ^ en deux autres ^

A et B étant

Q .. { 6 - a Y

des fonctions rationnelles et entières de 0, la première, de l’ordres — î, et la seconde, d’un ordre inférieur à R; car il est visiblequ’en substituant pour A et B des fonctions de cette nature, avecdes coefficients indéterminés; en réduisant ensuite les deux frac-tions au même dénominateur, qui devient alors égal à Q; en éga-lant enfin la somme de leurs numérateurs à P ; la comparaisondes puissances semblables de 6 donnera autant d équations qu ily a de coellicients indéterminés. Cela posé, l’équation

A li P

{6 -«y R ~ (6-a)’. R

donne

P B.{6-*Y

~ îï li

Si l’on considère A, B, P et B comme des fonctions rationnelleset entières de 6 — a, A sera une fonction de l’ordre s— î,

p

et par conséquent il sera égal au développement de , dans une