LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE.

pourvu que dans le développement du second membre de celteéquation on applique à la caractéristique A les exposants despuissances de A .y x ; que l’on change les différences négatives enintégrales, et que l’on substitue y x au lieu de A°.j x ; et commece développement renferme l’intégrale 2 "./*, qui peut être censéerenfermer n constantes arbitraires, l’équation (2) est encore vraie,en ayant égard aux constantes arbitraires.

On peut observer que cette équation se déduit de l'équation (1),en faisant dans celle-ci, n négatif, et en y changeant les différencesnégatives en intégrales; c’est-à-dire, en écrivant ' 2 n .y x au lieude A - ' 1 ,y x dans le premier membre; et généralement clans le dé-veloppement du second membre, S r .j x au lieu de A r .y x .

Les équations (1) et (2) auraient également lieu, si x, au lieu devarier de 1 unité dans A ,y x , variait cl’une quantité quelconque ta,pourvu que la variation de x dans'A .y x soit égale à (ta. En effet,

t

il est clair que si dans y x on fait x= 3 ÿ-,x variera de ta lorsque x

variera de l’unité; A .y x se changera dans A.j x ,, la variation dex étant ta; et A.y x se changera dans A.y x ,, la variation de xétant (ta. Maintenant si, après avoir substitué ces quantités dansles équations (1) et (2), on suppose ta infiniment petit et égal àdx ; A .y x , se changera dans la différence infiniment petite dy xl . Side plus on lait 1 infini, et idx'=ot,, a étant une quantité finie, lavariation de x' dans 'A ,y xl , sera a; on aura donc

[{i-dy xi y-iY,,

[(1 -dy x ,)‘

( 7 )

or on a

log. ( 1 -f- dy x ,y = i. log. ( 1 — dy x , ) = 1. dy :

dx

dy x <.

ce qui donne

dy^' — c ^

c.