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LIVRE PREMIER, PREMIERE PARTIE.

Si, dans les équations (1) et (2), on suppose encore i infinimentpetit et égal à dx, on aura

on a d’ailleurs

-.d\y x , ' 2 n .y x = ./». y x .dx n ;

à.y x )‘ = c

dx. log.(i-t- A.jJ

dx. log. (

A.

y*

les équations (1) et (2) deviendront ainsi

d n - y x

dx n

= [l°g*(i-^A ./*)]",

J' n .y x .dx n =

[log.fi+A.j*)]"'

( 6 )

On peut observer ici une analogie singulière entre les puissancespositives et les différences, et entre les puissances négatives et lesintégrales. L’équation

'a - y *=

d y*

dx

H

est la traduction du théorème connu de Taylor, lorsque, dansle développement de son second membre, suivant les puissances

de -jyy, on applique à la caractéristique d les exposants de ces

puissances. En élevant les deux membres de cette équation à lapuissance n, et appliquant aux caractéristiques 'A et d, les expo-sants des puissances de 'A .y x et de dy x , on aura l’équation ( 3 ),d’011 résulte l’équation ( 4 ), en changeant les différences négativesen intégrales.

dr,

a. -g- f

L’équation précédente donne c =\-r-'\.y s .

En prenant les logarithmes de chaque membre, on aura

a -§r = 1 °s-( 1 ~ A -^)' ( r )