LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE.

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1 1. Je n’ai considéré jusqu’ici qu’une seule fonction y x de x;mais la considération du produit de plusieurs fonctions de lamême variable conduit à divers résultats curieux et utiles d’ana-lyse. Soit u une fonction de t, et y x le coefficient de t x dans ledéveloppement de cette fonction ; soit u une fonction de t, et y xle coefficient de t' x dans le développement de cette fonction; soitencore u une fonction de t”, et y" x le coefficient de C x dans son dé-veloppement, et ainsi de suite. Il est clair que y x .y' x .y" x . etc. serale coefficient de t x .t' x .{ x .e te. dans le développement du produitu.u.u.e te.; ce produit Sera donc la fonction génératrice deJx-y'x-ÿ'x- etc. La fonction génératrice de

y™ ■ • /x-m • etc. — y x .y x ./,. etc.

ou de \ .y x .ÿ x .ÿ x .e\.c. sera ainsi

u.u .u . etc.

1.1 . ï

et la fonction génératrice de A" .y x .y x ,y" x . etc. sera

u. a. u. etc.

t.t'.t!'. etc.

On prouvera, comme dans le n° 2, que la fonction génératricede 2\y x .ÿ x .ÿ' x .etc. sera

u.u.u . etc.

1.1'. t ". etc.

c’est-à-dire que l’on peut changer n en — n dans la fonction géné-

ratrice de A n .j' a ..y x .etc. pourvu que l’on change A - ' 1 dans S".Appliquons ces résultats à deux fonctions y x et y x : la fonction

génératrice de A n .y x .j I ' serasous cette forme

On peut la

mettre

/

TOME VII.