m THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

cients seront (les fonctions rationnelles et entières de s. Cela posé,considérons un terme quelconque de cette équation, tel que

h. s m . et nommons X r le coefficient dedans le développe-

ment de Z, (0) suivant les puissances de-r; ce coefficient dans ledéveloppement de k. s m . —j—f

sera

/i.(r+(x—m).(r+(x— m— i).(r+(x— m— 2).

En repassant ainsi des fonctions génératrices à leurs coefficients,l’équation entre Z, (|J) et ses différences donnera une équation entreX r , etc. dont les coefficients seront des fonctions rationnellesde r, et dont l’intégrale sera la valeur de X r .

11 suit de là que l’intégration de toute équation linéaire auxdifférences finies partielles, dont les coefficients sont constants,dépend, i° de l’intégration d’une équation linéaire aux différencesfinies dont les coefficients sont variables ; i° d’une intégrale définie.L’intégrale définie dont dépend la valeur de y i>x , dans la formule(X) est relative à r, et doit s’étendre jusqu’à r = 1" —t— 1.

Relativement à l’équation aux différences partielles du premier

ordre

0

on a

7.(0) — 1

1 a.a‘-‘ 1

on a de plus

a = A -f- B', s,

B

a — - ;

a

ce qui donne

y ( 0 , (A+B'.sf

1 — (~B)^ ’