66 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

2 ° au moyen d’une intégrale définie. Mais ce n’est pas ici le lieude m’étendre sur cet objet, que j’ai considéré ailleurs avec étendue.

On doit faire ici une remarque importante relative au nombredes fonctions arbitraires que renferme l’expression générale dey lxl . Ce nombre, dans la formule (X) du numéro précédent, estégal à n; mais il devient plus petit dans le cas où, la valeur de z

du ii° 13 ne renfermant que des puissances de y moindres que n,la plus haute puissance ri de ÿ a un coefficient constant ou indé-pendant de y. Alors en suivant l’analyse précédente, et détermi-nant à son moyen la valeur de comme nous avons déterminécelle de ÿ; en repassant ensuite des fonctions génératrices à leurs

coefficients, on parviendra à une formule analogue à la formule(X) ; seulement, l’intégrale définie, au lieu de s’étendre jusqu’àr—i- j- 1 , devra s’étendre jusqu’à r=x'-\-i . Cette nouvelle expres-sion de y,- x ,, ne dépendra plus que des ri fonctions arbitrairesy 10 , y 11? y,,,.... y,>_,; et tandis que la première suppose laconnaissance des n premiers rangs verticaux de la table (Q) dun° 14, celle-ci n’exige que la connaissance des ri premiers rangshorizontaux de la même table. Ainsi les n fonctions arbitraires

y*,xn y*, X ' .de la formule (X) n’équivalent qu’à ri

fonctions arbitraires distinctes. En effet, l’équation proposée auxdifférences partielles, donney in , au moyen des valeurs de y i=trj „,y,=tr,i, ...y 1= tr,n'-n r étant un nombre entier. Elle donne pareillementau moyen dey I=tr>0 , y I=tIV ,...-y, et éliminant y,^ r , n ,

au moyen de son expression, on a y au moyen dey 1=tr>0 ,y i=±zr ,,.. .yi ±r>n >-i ; en continuant ainsi, on voit que l’expression

générale de y i>x , ne dépend que des arbitraires y I=tr ,«, y,==r,i,-

irr,,.'-.- On peut donc, au moyen des «'premiers rangs horizon-taux de la table (Q), former tous ses rangs verticaux, qui sont,chacun, des fonctions de x, dans lesquelles i est invariable.