72 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
En repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura
y x,x>
n-i
•J'o.i'-t-otta-i) - ! - etc-
Le second membre de cette équation peut être mis sous laforme
X
Æ + —
(■+î)
En désignant donc par la fonction arbitraire <Ç> [x) la quantité
X
^ ^ .y ox ,, l’expression de y x>x , deviendra
- 1)' M-
Æ + -
y X ,X< \ g
Cette valeur satisfait donc à l’équation proposée aux différencespartielles. Il est visible que chacune des racines q', q", etc. fournitune valeur semblable, dans laquelle on peut introduire une autrearbitraire. Nous désignerons par ,(#'), Ç>(x), etc. ces nouvellesarbitraires. La réunion de toutes ces valeurs satisfera à l’équationproposée, parce quelle est linéaire, et cette réunion en sera l’in-tégrale complète, qui est ainsi,
x -
y *,*'
a
x+-
-+- ( 1H-T
</
etc.
-£)'•'A'. ?(*')_i)'.'A*. <?,(*')