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LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE.

tendus, ce point n’a aucune tendance à se mouvoir, et doit con-séquemment rester immobile; ce que l’expérience confirme.

Cette analyse des cordes vibrantes établit d’une manière incon-testable la possibilité d’admettre des fonctions discontinues dansce problème ; et l’on en doit généralement conclure que ces fonc-tions peuvent être employées dans tous les problèmes qui dé-pendent d’équations à différences partielles infiniment petites,pourvu qu’elles puissent subsister avec ces équations et avec lesconditions du problème. On peut en effet considérer ces équa-tions comme des cas particuliers d’équations aux différencesfinies, dans lesquelles on suppose que les variables deviennentinfinies; or rien n’étant négligé dans la théorie des équations auxdifférences finies partielles, il est visible que les fonctions arbi-traires de leurs intégrales ne sont point assujetties à la loi de con-tinuité, et que les constructions de ces équations, au moyen depolygones, ont lieu quelle que soit la nature de ces polygones.Maintenant lorsqu’on passe du fini à l’infiniment petit, ces poly-gones se changent dans des courbes qui, par conséquent, peuventêtre discontinues. Ainsi la loi de continuité n’est nécessaire ni dansles fonctions arbitraires des intégrales, ni dans les constructionsgéométriques qui les représentent. Il faut seulement observer quesi l’équation aux différentielles partielles en y x>x , est de l’ordre n,il ne doit point y avoir de saut entre deux valeurs consécutives de

r et s étant des nombres entiers positifs, s pouvant

être nul; c’est-à-dire que la différentielle de cette quantité doitêtre infiniment petite par rapport à cette quantité elle-même.Cette condition est indispensable pour que l’équation différen-tielle proposée puisse subsister, parce que toute équation différen-tielle partielle suppose que les différentielles partielles de y x>x ,dont elle est formée, et divisées par les puissances respectives dedx et de dx, sont des quantités finies et comparables entre elles;

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dx s .dx' n ~