88 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

mais rien n’oblige d’admettre la même condition relativement auxdifférences de y x x , de l’ordre n ou d’un ordre supérieur. En pre-nant pour fonctions arbitraires, les différences les plus élevéesdes fonctions arbitraires qui entrent dans l’intégrale d’une équa-tion aux différences partielles, cette intégrale ne renfermera plusalors que des fonctions arbitraires et leurs intégrales successivesqui sont continues, parce qu’en général l’intégrale J'ds.<p (s) estcontinue dans le cas même où la fonction Ç> ( s ) ne l’est pas. La con-dition précédente se réduit donc à ce que la différence ( n — i) um ‘de chaque fonction arbitraire soit continue, c’est-à-dire que sadifférentielle soit infiniment plus petite. Il ne doit donc point yavoir de saut entre deux tangentes consécutives de la courbe quireprésente la fonction arbitraire de l’intégrale d’une équation auxdifférentielles partielles du second ordre. Ainsi dans le problèmedes cordes vibrantes que nous venons de discuter, il est néces-saire et il suffit que deux éléments quelconques contigus de lafigure initiale de la corde forment entre eux un angle infinimentpeu différent de deux angles droits. Il ne doit point y avoir de sautentre deux rayons osculateurs consécutifs de la courbe qui repré-sente la fonction arbitraire contenue dans l’intégrale, si l’équationaux différences partielles est du troisième ordre; et ainsi de suite.

Considérations générales sur les fonctions génératrices.

20. Il est souvent utile de connaître la fonction génératriced’une quantité donnée par une équation aux différences finies,ordinaires ou partielles, parce que l’analyse offrant divers moyenspour développer les fonctions en séries, on peut ainsi obtenir d’unemanière fort simple la valeur de la quantité cherchée. Il résultedu n° 5, que la quantité y Xi donnée par l’équation aux diflérencesfinies

p-y*

o ■ a. y x - 4 - b.y.

s -c.y x +,..

«/•J***