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LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE,est le coefficient de t x dans le développement de la fonctionA+B. t+C.t *. +H. t*-'

a . t"+b. t n ~' + c. /“-* +p. t +</ ’

A, B, C ,— H étant des constantes arbitraires. En effet, si l’oncompare cette fonction «à celle-ci,

J.-l-j,. V .4-j x . t x -+-y x ^ .f™.-H^oo • t x ,

on aura, en faisant disparaître le dénominateur, et en vertu del’équation aux différences en j x>

A 4 - B. t -4 C. V . 4 - //. r- = t"- 1 . (b.y, 4- c.j, -4 etc.)

4-t" - (c.j 0 4- c. j, 4- etc.)

4- etc.

en égalant ensuite les puissances homogènes de t, on aura lesvaleurs de A, B, C, etc. au moyen des n valeurs y 0 , j,, ... j„_,;on aura donc ainsi la fonction génératrice de y x .

Si l’on suppose H'.y x =y Xi on aura y x — A'.y x ; et alors l’é-quation

oz=a.j x 4-è.j^, 4 ~c.y x ^ .H- </. J x _„,

devient

o =a. A i .y x 4- b. A. 4 - 7 . A‘./ X ^ n ;

ce qui donne en intégrant,

«•/*4- b.y x ^ .-4 (l-ÿx+n = M. x'-' 4 - iV. 4 etc.

M, iV, etc. étant des constantes arbitraires. Par le n° 2, it étant lafonction génératrice de y x> celle de y x est

u.V+A'.V-' + B’. 4’ + etc.

(*—ô 7 ;

la fonction génératrice de y x ou de la quantité donnée par l’équa-tion précédente en y x est donc

(A + B.t+C.l \..-hTf. /"-*). V+[A'. ê-'+B’. t i -' + etc.).(a.t n +b.t n -'....+(i)(î-f) 1 '. (a.t n +b.t n -' + c.t n ~' . + p .t+q) •

TOME VII.

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