90 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Concevons maintenant que a, b, c, etc. soient des fonctionsrationnelles et entières de t' de l’ordre n, et que A, B, C, etc.soient des fonctions arbitraires de la même quantité; y x sera fonc-tion de x et de (. En la développant par rapport aux puissancesde t', nous nommerons y x> x , le coefficient de t >xf dans ce dévelop-pement. Cela posé, si l’on suppose

a = a . t' n H- b '. t' n ~ l -4- c . t' n ~* -h etc.b = a . t' n -4- b”. C-+- c". t' n i -+- etc.c = a . t'"-+- etc.etc.

L’équation différentielle précédente en y x donnera, en comparantles coefficients de la puissance t'*'*"', l’équation suivante aux diffé-rences partielles en y Xi x ,,

o = a. y x>x ,-+- b' .y x>x ,+ 1 -+-c .y x>x ,+ % H- etc.

-h a • y x -f i, *' b".y x + 1 1lM _, -4- etc.

H-u •J'x-f-i.x' ~4-

H- etc.

la fonction génératrice de la variable y XtX , de cette équation seradonc

A + B.t + C.V .4-//.f n -‘

a .t n .t'“+b' ./'* . l' n -'+c'.t‘ l . etc.

4- a". t*~'. t' n 4- b", t"- 1 . t' n ~' 4- etc.

+ a".r’. t’ n 4 -etc.

4- etc.

A, B, C, etc. étant des fonctions arbitraires de t', elles donnerontpar leur développement les fonctions arbitraires qui doivententrer dans l’expression de y x , x *-

On peut encore déterminer les fonctions génératrices des équa-

* Cette fonction génératrice est incomplète : voyei le 4' Supplémenta la fin du volume.