91

LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE.

tions aux différences finies, dans lesquelles les coefficients sontvariables. Considérons pour cela l’équation aux différences

.)

Si l’on nomme u la fonction génératrice de y x> on aura, en vertude l’équation précédente,

- 4 - etc.

u. «-+

A, B, C, . H étant des constantes arbitraires qui dépendent

des valeurs de j 0 , j,, j s , — j„_,. En effet, si l’on substitue danscette équation la valeur précédente de u en série,* on voit qu’envertu de l’équation différentielle proposée tous les coefficients dela même puissance de t disparaissent lorsque cette puissance estégale ou plus grande que n; et la comparaison des puissancesinférieures donne un nombre n d’équations qui déterminent lesconstantes A, B, C, etc. au moyen des valeursy 0 ,y,, ... j„_,.

L équation différentielle précédente n’est intégrable générale-ment que dans le cas où elle est du premier ordre, et alors lescoefficients de l’équation aux différences finies en y x ne renfermentque la première puissance de x : dans ce dernier cas, on peutobtenir la fonction génératrice u par des quadratures.

21. La connaissance des fonctions génératrices des équations

12 .

o = a.y x -\-b. y x „ -t- c . y x ^

-+- x '-(«" • Jx H - b".y x + t H- c.y x +,. -f- etc.