94 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

tions génératrices des variables, et les intégrales définies au moyendesquelles ces variables peuvent être exprimées. Pour la rendreencore plus sensible, considérons l’équation

y x = /T.dt.t~ x ,

T étant une fonction de t, et l’intégrale étant prise dans des limitesdéterminées. On aura, x variant de a,

et généralement,

±-y*=JT- dt - t ~ x -[l £— 1 ).

en faisant i négatif, la caractéristique A se change dans le signeintégral 2. Si l’on suppose a infiniment petit et égal àdx, on aura

d- = i -f-dx.log. ÿ; on aura donc, en observant qualors A‘.j x se

change dans d‘y x ,

d'y*

dx‘

. fT. dt.t~ x .\\og.j

On trouvera de la même manière, et en adoptant les dénomina-tions du n° 2,

V‘.y x = /7’.dt.r x .

rt-i-

b

1

Ainsi la même analyse qui donne les fonctions génératrices desdérivées successives des variables donne les fonctions sous le signey)' des intégrales définies qui expriment ces dérivées. La caracté-ristique V 1 n’exprime, à proprement parler, qu’un nombre i d’opé-rations consécutives ; la considération des fonctions génératricesréduit ces opérations à des élévations d’un polynôme à ses diversespuissances; et la considération des intégrales définies donne direc-tement l’expression de V‘.y x , dans le cas même où l’on suppose-rait i un nombre fractionnaire.

Mais le grand avantage de cette transformation des expressions