LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE. 95

analytiques, en intégrales définies, est de fournir une approxi-mation aussi commode que convergente de ces expressions, lors-qu’elles sont formées d’un grand nombre de termes et de facteurs;c’est ce qui a lieu dans la théorie des probabilités, quand le nombredes événements que l’on considère est très-grand. Alors le calculnumérique des résultats auxquels on est conduit par la solutiondes problèmes devient impraticable, et il est indispensable d’avoirpour ce calcul une méthode d’approximation d’autant plus con-vergente que ces résultats sont plus compliqués.

Leur expression en intégrales définies procure cet avantage,et celui de donner les lois suivant lesquelles la probabilité des ré-sultats indiqués par les événements approche de la certitude, àmesure que les événements se multiplient; lois dont la connais-sance est l’un des objets les plus intéressants de la théorie desprobabilités. Ce fut à l’occasion d’un problème de ce genre, dontla solution dépendait de l’expression du terme moyen du binômeélevé à une grande puissance, que Stirling transforma cette expres-sion dans une série très-convergente : son résultat peut être re-gardé comme une des choses les plus ingénieuses que l’on aittrouvées sur les suites. Il est surtout remarquable en ce que dansune recherche qui semble n’admettre que des quantités algé-briques il introduit une quantité transcendante, savoir, la racinecarrée du rapport de la circonférence au diamètre. Mais la méthodede Stirling, fondée sur un théorème de Wallis, et sur l’interpola-tion des suites, laissait à désirer une méthode directe qui s’étendîtà toutes les fonctions composées d’un grand nombre de termeset de facteurs. Telle est la méthode dont je viens de parler, et quej ai donnée d’abord dans les Mémoires de l’Académie des sciences pour l’année 1778, et ensuite, avec plus d’étendue, dans les Mé-moires de la même Académie , pour l’année i7 8 2.Le développementde cette méthode va être l’objet de la seconde partie de ce livre,et complétera ainsi le calcul des fonctions génératrices.