96 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Les séries auxquelles cette méthode conduit renferment leplus souvent la racine carrée du rapport de la circonférence audiamètre, et c’est la raison pour laquelle Stirling l’a rencontréedans le cas particulier qu’il a considéré : mais quelquefois ellesdépendent d’autres transcendantes dont le nombre est infini.

Les limites des intégrales définies, que cette méthode réduit enséries convergentes, sont, comme on vient de le voir, données parles racines d’une équation que l’on peut nommer équation deslimites. Mais une remarque très-importante dans cette analyse, etqui permet de l’étendre aux fonctions que la théorie des proba-bilités présente le plus souvent, est que les séries auxquelles onparvient ont également lieu dans le cas même où, par des chan-gements de signe dans les coefficients de l’équation des limites,ses racines deviennent imaginaires. Ces passages du positif au né-gatif, et du réel à l’imaginaire, dont les premières applicationsont paru, si je ne me trompe, dans les Mémoires cités, m’ont con-duit dans ces Mémoires aux valeurs de plusieurs intégrales défi-nies, qui offrent cela de remarquable, savoir, quelles dépendentà la fois de ces deux transcendantes, le rapport de la circonférenceau diamètre, et le nombre dont le logarithme hyperbolique estl’unité. On peut donc considérer ces passages comme des moyensde découvertes pareils à l’induction dont les géomètres font de-puis longtemps usage. Mais ces moyens, quoique employés avecbeaucoup de précautions et de réserve, laissent toujours à désirerdes démonstrations de leurs résultats. Leur rapprochement desméthodes directes, servant à les confirmer et à faire voir la grandegénéralité de l’analyse, et pouvant par cette raison intéresser lesgéomètres, j’ai insisté particulièrement sur ces passages, qu’Euler considérait en même temps que moi, et dont il a fait plusieursapplications curieuses, mais qui n’ont paru que depuis la publi-cation des Mémoires cités.