106 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,l’intégrale fdx.c

_-«V+ri.\/ i est égale à

r’ / r^—1\»

-( ax -~—)c ka .fdx.c V } .

jr \i - i

Si l’on fait t=ax -"-, elle devient

2 a

r*4 a’

.fdt.

-t'

V-

2 a

ici l’intégrale relative à t doit être prise depuis t = —jusqu’à t infini, parce que ces deux limites répondent à x nul età x infini.

En faisant r négatif dans cette formule, on aura l’expressionde l’intégrale /ckc. c _aV_^i^v/ ~ , ; mais dans ce cas les limites de

l’intégrale relative à t sont t= —> et 1 infini; la réunion deces deux intégrales est donc égale à

r’

-- .fdt.c- 1 ',

a J

l’intégrale étant prise depuis f = — oo jusqu’à t—oo; car lapremière intégrale ajoute à la seconde ce qui lui manque pourformer la moitié de l’intégrale prise entre les deux limites infinies;

or cette dernière intégrale est

ial .V/7

fdx. cos.

rx. c

a

•_ y-

; on a

donc

. c

r'

‘ïô î

2 a

L’analyse qui vient de nous conduire à ce résultat est londéesur le passage du réel à l’imaginaire; car on y traite les intégralesrelatives à t et prises entre deux limites, dont une est imaginaireet l’autre est infinie, comme si ces limites étaient toutes réelles.Mais on peut parvenir à ce résultat de la manière suivante.