LIVRE PREMIER, SECONDE PARTIE.

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CHAPITRE II.

DE L’INTÉGRATION PAR APPROXIMATION, DES ÉQUATIONS LINÉAIRESAUX DIFFÉRENCES FINIES ET INFINIMENT PETITES.

29. On a vu dans le n° 21 que les intégrales des équationslinéaires aux différences entre une variable s, dont la différencefinie est supposée constante, et une fonction y s de cette variable,peuvent être mises sous la forme y,=fx <j 3dx, Ç> étant une fonc-tion de x de la même nature que la fonction génératrice de l’équa-tion proposée aux différences, et l’intégrale étant prise dans deslimites déterminées de x. En supposant s un très-grand nombre,on aura, par l’analyse précédente, une valeur très-approchée decette intégrale, et par conséquent de y,. Mais cette méthode d’ap-proximation étant très-importante dans la théorie des probabilités,nous allons la développer avec étendue.

Considérons l’équation aux différences finies

S=A.y,-hB. A.y,-bC. A\j,-r- etc. (î)

A, B, C, etc. étant des fonctions rationnelles et entières de s,auxquelles nous donnerons cette forme :

A =a-ha {,) .s -ha {,) .s.[s — î) -ha (>) .s.(s — i).(s— 2 ) -+- etc.

B —b-+- b w . s H- b {,) .s.(s — 1 ) -h 6 (5) .s.(s— 1 ).(s — 2 ) -1- etc.

C=e-h e { 'K s-he [i) .s.(s — 1 ) -f-e w .s.(s— i).(s—- 2 ) h- etc.etc.

A .y s est la différence finie de y,, s étant supposé varier de l’unité;A 1 .j, A 3 .j, etc. sont les seconde, troisième, etc. différences dey s ; et S est une fonction de s. Cela posé, représentons y s parfx(pdx, (p étant une fonction de x qu’il faut déterminer, ainsi

TOME VII. IG