130 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

On éliminera, au moyen de ces équations, toutes les constantesarbitraires, moins une, des valeurs de Ç>, (£>', <$", etc. et l’on arri-vera à une équation finale en x, dont les racines seront les limitesdes intégrales fx'.Çdx, fx s .<Ç>'dx, etc. On déterminera autant deces limites qu’il est nécessaire pour que les valeurs de y, t ÿ s> etc.soient complètes.

Supposons maintenant que S ne soit pas nul, et qu’il soit égal à

p‘. —b/ w .s.(s — 1 ) -h etc.].

En faisant C= o dans l’équation (b), et en y mettant x 1 au lieude on aura

d.{x\à'.Z)

p‘.[l f-/ (,) .s -h/ !,) .s.(s — i )—(— etc.]

;r.A.Z

1.2 .dx

x.A'. Z

• etc.

d’où l’on conclut d’abord x = p, en sorte que les intégrales j'x'.Çxlx,Jaf. $'(lx, etc. doivent être prises depuis a:=o jusqu’à x—p. Lacomparaison des coefficients de s, s. [s — î), etc. donnera ensuiteautant d’équations entre l, / (1) , etc. et les constantes arbitrairesdes expressions de 0, <£>', etc. L’égalité à zéro de ces mêmes coelli-cients, dans les équations (à / ), [b "), etc. donnera de nouvelleséquations entre ces arbitraires, que l’on pourra ainsi déterminerau moyen de toutes ces équations. On aura, par ce procédé, lesvaleurs particulières de y,, qui satisfont au cas où S', S ", etc.étant nuis, 5 a la forme que nous venons de lui supposer, ou,plus généralement, est égal à un nombre quelconque de fonctionsde la même forme.

Pareillement, si l’on suppose que S, S", etc. étant nuis, S' estla somme d’un nombre quelconque de fonctions semblables, ondéterminera les valeurs particulières de y s) y,', etc. qui satisfontà ce cas, et ainsi du reste. En réunissant ensuite toutes ces valeurs