134 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Cette expression a l’avantage d’être indépendante de la détermi-nation des limites en x, qui rendent nulle la fonction N<Ç>.hy;en sorte quelle subsiste dans le cas même où cette fonction, éga-lée à zéro, n’a point de racines réelles; elle subsiste encore dansle cas de s négatif. Cette remarque, analogue à celle que nousavons faite dans le n° 25, et qui tient, comme elle, à la généralitéde l’analyse, est très-remarquable en ce quelle donne le moyend’étendre la formule précédente à un grand nombre de cas aux-quels la méthode qui nous y a conduits semble d’abord se refuser.

Cette formule ne renferme que la constante arbitraire H, etpar conséquent elle n’est qu’une intégrale particulière de l’équa-tion différentielle proposée en y,, si cette équation est d’un ordresupérieur à l’unité. Pour avoir dans ce cas l’intégrale complète,il faudra chercher dans l’équation o=d[NÇ>. Sj), autant de va-leurs différentes de x, qu’il y a d’unités dans cet ordre. Soienta, a, a, etc. ces valeurs : on changera successivement dans l’ex-pression précédente de y,, a en a, a, etc. et H en H', H", etc. onaura autant de valeurs particulières qui renferment chacune unearbitraire, et dont la somme sera l’expression complète de y,.

Quand les coefficients de la proposée en y, renferment despuissances de s supérieures à l’unité, on peut quelquefois dé-composer cette équation en plusieurs autres qui ne renfermentque cette première puissance. Si l’on a, par exemple, l’équation

y,^ = M.y lt

M étant une fonction rationnelle et entière de s, on mettra cettefonction sous la forme

q.{s+b).[s+b').[s-i-b"). etc.

('+./)■(*+/)■('+/■). elc - ;

on fera ensuite

z„. x = q•[*-+-b). z„ z' s ^={s-{-b').z' s , etc.

U= («H-/)-',. C,= (*+/)• l't» etc.