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LIVRE PREMIER, SECONDE PARTIE.

Il est facile, par ce qui précède, de déterminer z, t t s> etc. en inté-grales définies, et de réduire ces intégrales en séries conver-gentes, lorsque s est un grand nombre. On aura ensuite

_ z,. z,'. etc.

y* t s . tj. etc. '

Dans plusieurs cas où l’équation différentielle en p, étant d’unordre supérieur au premier, ne peut être intégrée rigoureusement,on peut déterminer p par une approximation très-convergente;en substituant ensuite cette valeur de p dans l’intégrale fx’.pdx,on peut obtenir d’une manière fort approchée la valeur de cetteintégrale.

32. L’analyse exposée dans les numéros précédents s’étendencore aux équations à différences partielles finies et infinimentpetites. Pour cela, considérons d’abord l’équation linéaire auxdifférentielles partielles dont les coefficients sont constants. Endésignant par y, t „ la variable principale, s et s' étant les deuxvariables dont elle est fonction; et représentant cette équationpar celle-ci, o, V étant une fonction linéaire de y, t „ et deses différences partielles; on y supposera

y,,„ = fx\ x' s '. pdx,

P étant une fonction de x; alors l’équation V—o prend cetteforme

o = JM. x s . x' 3 '. p dx,

M étant une fonction de x et de x', sans s ni s'. En égalant doncM à zéro, on aura la valeur de x en x, et cette valeur substituéedans 1 intégrale fxf.x*\<p>dx, donnera l’expression générale dej, „,dans laquelle (p> est une fonction arbitraire de x; les limites de1 intégrale étant indépendantes de x, mais d’ailleurs arbitraires. Si1 équation proposée o= V est de l’ordre n, il faudra, au moyende 1 équation M— o, déterminer un nombre n de valeurs de x