LIVRE PREMIER, SECONDE PARTIE. 149

par conséquent,

_ fx n+s -'.dx.{p-x ) n '- nïs ~ 7(1 fx H+ ^\dx. [p~x) n '- n '

Intégrons présentement l’équation proposée aux différences en y s :son intégrale est

_ ( n + f*)-( n + p + 1 ).(n+s — î) s

(«'+/^ + i).(n'+^+2). (n'-r-s)'

Dans cette expression, comme dans toutes celles formées de pro-duits, les facteurs du numérateur ne commencent que pour lavaleur de s qui rend le dernier facteur égal au premier, ce qui alieu ici lorsque s est égal à il en est de même des facteurs

du dénominateur. Pour la valeur de s égale à p, le numérateur etle dénominateur se réduisent à l’unité qui est censée les multiplierl’un et l’autre. Si l’on compare les deux expressions précédentesde y„ on aura

(w+ft)-(n+ H-i).(n+s —î) _ fx n+s ~'. dx.(p—x )"~ H

(n'+f^ + ]).(n'+f^+ 2 )...(n'+s)' /, — dx. (p -af'-"'

Faisons p — x=pu ‘; le second membre de cette équation de-viendra

fu 3 n - 2 n+l .du.(i-uf +s - 1

les intégrales étant prises depuis u = o jusqu’à u = i, parce queces limites répondent aux limites x = p et x = o. On a donc

(n+p).(n+p + i)....( W -H-i) _ fu 3 n '- 2 n+l .du.{i-u ') n+s - 1(7i'+^ + i).(n , + f .+ 2 )...(n'+i) “ fu 2 n '-™ +l .du.(i-u') n+ i*- 1 '

Supposons h = y, ri = o et pt, = î ; si l’on observe que

/rfa-y/i—n' = |ir,

on aura

(s + l).(s + 2).

. . 2 S

1.2.3_ S

.fdü.(l-ll')

7T