LIVRE PREMIER, SECONDE PARTIE. 165

la première intégrale étant prise depuis x nul jusqua x infini,et la seconde étant prise depuis x—p jusqu’à x infini.Maintenant, l’intégrale de la proposée

est

y>-

1.2.3(s — l)

.(Q_2 è(i- 1 ).(r- 2 )...(,-j+ ,

i.[i— i).(i—2)... .(1—s+i)'\' c 1.2.3.5

Q étant une arbitraire, et 2 étant la caractéristique des différencesfinies; en sorte que la fonction 2.-^— 1 p s estégale à

di=ù ... + ü/-H'--=) r -[i-+») r

7 1.2 .3 ...($ 1) r

H -ip-h

1.2

c’est-à-dire, à la somme des s premiers termes du binôme (i-f-p)‘.Si l’on compare cette expression de y, à la précédente, on aura

tv Cx‘-'.dx , .. rx’-Kdx

1 .2. 3 .. ..(5 1) y_ «.(i-i)....(«-i-t-i)

(1+1)''

1 .2.3.s

’)■

®*(l I ) — (l 5 -f-l)

Si l’on fait s= 1 dans cette équation, et si l’on observe que leproduit 1.2. 3 . ...(5 —1) se réduit alors à l’unité, comme on l’a vudans le n° 34 ; on trouve après les intégrations B’—Q: ainsi B'étant une arbitraire, cette équation se partage dans les deux sui-vantes :

1.2. 3 ....(5—1) _ Çx*~ l . dx

i.(i— 1 )..,.( 1—5+1) J (i+x)*-*-' ’

1.2. 3 . ...( s—i) v i-(* — 1)....( 1—s-h 1 ) t , _ Ni . (*x s ~ , .dx

i.(«-i)....(«- i + 1 )* s * 1.2.3.... $ -p—( 1 +p) -J (7^-),-.,;

d’où l’on tire

fx‘~'.

H-|>+ ‘Ai=!).*+ '••(■•-■)-•(■•--+»)

1 1.2 ,. 2 .3....(i-l) *P -\ 1+ P>- Çx^-i.dx*

dx