182 THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Si i est un très-grand nombre, on aura, par le n° 33, l’inté-grale Jx‘dx.c~ x ; on aura ensuite, par ce qui précède, l’intégraledx.c- 3X .(c- x —i)\

f

ainsi l’on obtiendra, par une série très-conver-

gente, la valeur du second membre de la formule citée.

Supposons t infiniment petit, r sera nul, et ™ sera une frac-tion infiniment petite; on aura donc

m m

sin. — .TT — — . 7T = m,n n

= A", log.s;

la formule ( l u w ) donnera ainsi

A-.I,- r .(c-'-r.

expression que l’on réduira facilement en sérié convergente,lorsque n est un grand nombre.

42. On a souvent besoin, dans l’analyse des hasards, de neconsidérer dans i’expression de A", s 1 , que la partie dans laquelleles quantités élevées à la puissance i sont positives. Nous allonsdéterminer la somme de tous ces termes. Pour cela, reprenonsla formule (f/') du numéro précédent. Si Ion y substitue au lieude A", .s', sa valeur

(,. __ n .( s - n — i )' — . {s -t- n — a)*' — etc.

et si l’on y change ensuite 5 dans — s, on aura, en ne continuantles deux séries du premier membre de l’équation suivante quejusqu’aux termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance i,devient négative, et observant que le signe — a lieu, si n est pair,et le signe —, si n est impair,