186 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

()n peut encore parvenir à la formule (p), au moyen de l’équa-tion suivante,

i.[Ç(z+ 2 ,n) — <p(z,n)]=(n -t-z 4-a).<p'(z + 2 ,n) + (n — z).<p'(z, n),

$'(z,n) étant le coefficient de dz dans la différentielle de £(z, n),et <p[z, n) étant égal à

[n-\-z)‘ — n. (11 -\-z — 2 )'-+- n '-^ X \ (n-hz —4)'— etc.

tous les termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance iest négative devant être rejetés, et z ne surpassant point n, en sorteque la quantité élevée à la puissance i ne surpasse jamais -m.En résolvant cette équation aux différences infiniment petites etfinies, paria méthode du n°30, et déterminant convenablementles constantes arbitraires, on parvient à la formule (p).

Nous allons maintenant donner quelques applications de cetteformule, qui vont nous conduire à plusieurs théorèmes curieuxd’analyse.

Supposons m nul; alors on a

kz=ftr- m ~'dt.c- t '=

J - n

la formule (p) devient ainsi

(n+z)' , “ 1 — n.(n+z— ^-—îi.(n+z— 4)" _1 — etc.

1 .2

1.2.3.(n— i). 2 n

rj , , ( sin.aA"

Jdx .cos .zx .1 -——J

On a

ce qui donne