LIVRE PREMIER, PREMIERE PARTIE.

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43. On peut étendre les méthodes précédentes à la détermina-tion de la différence d’une puissance quelconque d’une fonc-tion rationnelle de s. Il suffit pour cela de réduire par la méthodedu n° 29, cette fonction à la forme fx s .pdx. Mais on a vu qu’alorson parvient pour déterminer (p, à une équation différentielle d’undegré égal au plus haut exposant de s dans cette fonction, et quile plus souvent n’est pas intégrable. On peut obvier à cet in-convénient au moyen de multiples intégrales, de la manièresuivante.

Considérons généralement la fonction

{s + p)'\s+p'Y.(s+p n y. etc."

Si dans l’intégrale faf~ l dx.c~ (s +P ] - x , prise depuis x nul jusqu’à x

infini, on change (s-f-n).® en x, elle devient . 1 .. . fx'^ 1 dx.c~ x ',

la nouvelle intégrale étant prise dans les limites précédentes. Lacomparaison des deux intégrales donnera

i _ jx l ~'dx.c~^P^

{s+p) 1 Jx l ~ l dx.c— X

Il suit de là que

{s+p)‘-{s+py'.(s+p'y“. etc.

_ fx‘~ l .x' l '~'.x ' ,l "~' l . etc. dx. dx'. dx". etc. c~P x ~P ,x ’~p" x "— tU —^ x - ¥ - x '-*- x "- t - tXc -)

jx l - 1 dx.c- x .jx' i '- l dx'.c- x '.jx"'"-'dx".c- x ". etc. ’

toutes les intégrales étant prises depuis x, x, x", etc. nuis jusqu’àleurs valeurs infinies; on aura donc

A".

'(s+p)‘.($+//)■'. etc.fx'-'.x' 1 -'. etc. dx.dx. etc ( c -

i) n

.fx' 'dx.c X .jx l '~'dx.c~ x '. etc.