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LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE.

Les formules du n° 40 donneront la valeur approchée de chacun destermes de cette série, et l’on voit, par ces formules, que n et i étantde très-grands nombres, A'*.^' - ’ est d’un ordre moindre de deuxunités que A n .s il , d’où il suit que chaque terme de la série précé-dente est d’un ordre inférieur d’une unité à celui qui le précède;ce qui montre la convergence de la série.

On arriverait au même résultat en résolvant par approximationl’équation différentielle du second ordre en <p, à laquelle conduitla méthode du n° 29. Lorsqu’on suppose

(s' s — jj =fc-'*.<pdx;

on a

a is'.jc~ s ' x . Ç>dx— |V a — ^j.fc~ s ' x .xÇ>dx.

En faisant disparaître s' des coefficients de cette équation , par laméthode citée, dans les termes affectés du signe intégral; égalantensuite à zéro la somme de ces termes, et supposant ensuite dans1 équation différentielle que l’on obtient ainsi, Ç> égal à une suiteascendante par rapport aux puissances de x, on aura une série con-vergente. On aura ensuite

A".(s'*— '=fc- s ' x .{c- x —\) n .(pdx,

d’où l’on tirera une valeur en série de A n .(s' a

, et dans la-quelle il suffira de changer le signe de i, pour avoir la valeur de

A", (V a — i

Cette manière de résoudre par approximation l’équation diffé-rentielle en <Ç>, et que nous avons indiquée à la fin du n° 30, peutservir dans un grand nombre de cas où cette équation n’est pasintégrable exactement.