192 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Remarque générale sur la convergence des séries.

44. Nous terminerons cette introduction par une observationimportante sur la convergence des séries dont nous avons fait unsi fréquent usage. Ces séries convergent très-rajndement dans leurspremiers termes ; mais souvent cette convergence diminue et finitpar se changer en divergence. Elle ne doit pas empêcher l’usage deces séries, en n’employant que leurs premiers termes, dans lesquelsla convergence est rapide; car le reste de la série, que l’on né-glige, est le développement d’une fonction algébrique ou intégrale,très-petite par rapport à ce qui précède. Pour rendre cela sensiblepar un exemple, considérons le développement en série, de l’in-tégrale fdt. c~'\ prise depuis t—T jusqu’à t infini. On a, par len° 27,

— T 1

2 T

.3

2 7 '’

2’. 7’*

i.3.52\ 7’*

etc.

Cette série finit j>ar être divergente, quelque grande que soit lavaleur que l’on suppose à T; mais alors on peut employer sanserreur sensible ses premiers termes. En effet, si l’on considère,par exemple, ses quatre premiers termes, le reste de la série sera

— ‘ 1 . I ——; or cette quantité, abstraction faite du signe,

2 ‘ J . 1.3.5 .c~ T '

est plus petite que le terme- ' ^ ^ — qui précède, c’est-à-

dire que l’on a

T

car on a

■/

dt.

— constante

c-<’ Cdt.c- 1 '

En déterminant la constante, de manière que l’intégrale soit

nulle lorsque t = T, on aura

,-r*

T 7

pour cette constante; on