LIVRE PREMIER, SECONDE PARTIE. 193

aura donc, en prenant l’intégrale depuis T, jusqu’à t infini,

7-

dt. c~ 1 '

r~

La série précédente peut donc être employée tant quelle est con-vergente, puisque l’on est sûr que ce que l’on néglige est au-dessous du terme auquel on s’arrête.

Cette série jouit encore de cette propriété, savoir, quelle estalternativement plus grande et plus petite que sa valeur entière,suivant que l’on s’arrête à un terme positif ou à un terme négatif.On peut nommer par cette raison ce genre de séries, séries-limites.Au reste on a vu dans le n° 27, que dans le cas où elles sont diver-gentes on peut, en les réduisant en fractions continues, obtenirdes approximations toujours convergentes.

Ce que nous venons de dire sur la série précédente peut s’é-tendre à toutes celles que nous avons considérées, et doit ôtertoute inquiétude sur les usages que nous en avons faits. En effet,on peut toujours arrêter ces séries au point où elles cessent d’êtreconvergentes, et représenter le reste par une intégrale. C’est ceque nous allons faire voir sur la formule la plus générale dudéveloppement des fonctions en séries.

Oh a, en prenant l’intégrale depuis z= o,

fdz.(Ç>'[x — z) = Ç>(x )— <p(x —z),

Ç>'(x) étant la différentielle de <Ç> (#) divisée par clx; si l’on désignepareillement par <Ç>" (#) la différentielle de [x) divisée par dx, par<P’" (x) la différentielle de Ç>"(x) divisée par dx, et ainsi de suite,on aura

fdz.<p'(x — z) = z.Ç' (x — z) H- j'zdz.<p"[x — z),fzdz.Ç"(x—z) = \z\(p"[x—z) ~f\z\lz.(p'"[x — z),etc.

En continuant ainsi, on trouvera généralement

TOME VII.

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