206 THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITES .

place, et ensuite à la première; ce qui donne les deux combinai-sons pp', p'p. En introduisant ainsi une nouvelle lettre p" danschacune de ces combinaisons, on peut la mettre à la première, àla seconde ou à la troisième place, ce qui donne 2 . 3 combinai-sons. En continuant ainsi, on voit que dans une combinaison dex lettres on peut leur donner 1.2.3 . . .x situations différentes;d’où il suit que le nombre total des combinaisons de n lettres,prises x à x, étant, par ce qui précède,

n.(n— î ).(n—2).( n — .r + 1 )

1.2.3 . X

le nombre total des combinaisons, lorsqu’on a égard à la diffé-rente situation des lettres, sera cette même fonction, en suppri-mant son dénominateur.

On peut facilement, au moyen de ces formules, déterminer lesbénéfices des loteries. Supposons que le nombre des numérosd’une loterie soit n, et qu’il en sorte r à chaque tirage, on veutavoir la probabilité qu’une combinaison de s de ces numéros sor-tira au premier tirage.

Le nombre total des combinaisons des numéros, pris r à r, est,par ce qui précède,

11.(n— 1 ).(« —2).(n — r~i)

1.2.3 .r

Pour avoir parmi ces combinaisons le nombre de celles danslesquelles les s numéros sont compris, on observera que si l’onretranche ces numéros de la totalité des numéros, et que l’oncombine r — s à r — s, le reste n — s, le nombre de ces combi-naisons sera le nombre cherché ; car il est clair qu’en ajoutant less numéros à chacune de ces combinaisons on aura les combinai-sons r à r des numéros dans lesquelles sont ces s numéros. Cenombre est donc

[n—s).(n—s— 1 )....(« —/’+1 )i. 2 . 3 ... .{r— s)