208 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

c’est-à-dire que pour l’égalité du jeu, les mises doivent être réci-proques aux probabilités de gagner. Cette équation donne

m

x— — ;

P

ainsi ce que la loterie doit rendre est le quotient de la misedivisée par la probabilité du joueur pour gagner.

4. Une loterie étant composée de n numéros dont r sortent àchaque tirage, on demande la probabilité qu’après i tirages, tousles numéros seront sortis.

Nommons z M le nombre des cas dans lesquels après i tirages,

la totalité des n os i, 2, 3,.<7 sera sortie. Il est clair que ce

nombre est égal au nombre z n<9 _, de cas dans lesquels les n os 1,2,3 ,... <7— 1 sont sortis, moins le nombre de cas dans lesquels,ces numéros étant sortis, le n° <7 n’est pas sorti; or ce derniernombre est évidemment le même que celui des cas dans lesquelsles n 05 1, 2, 3, ... 9 — 1 seraient sortis, si l’on ôtait le n° <7 des nnuméros de la loterie, et ce nombre est z„_ li9 _,; on a donc

Z n,9 ^11,9—1 ^n—1,9—i- (0

Maintenant le nombre de tous les cas possibles dans un seultirage étant —^^--- - , celui de tous les cas pos-

1.2.0.... r

sibles dans i tirages est

n.(n — i).(n— 2).(n—r+i)\‘

1.2.3_r

Le nombre de tous les cas dans lesquels le n° 1 ne sortira pasdans ces i tirages est le nombre de tous les cas possibles lors-qu’on retranche ce numéro des n numéros de la loterie; et cenombre est

/ (»_!) .( n -2).

\ 1.2.3.r

(«-0V.