LIVRE DEUXIEME.

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( 1 -f i) *— y. ( i — i ) x , ou 2 1—1 , et que la somme de tous les casrelatifs aux nombres pairs est y. ( î + î ) *+ ÿ. ( î — î ) x — i , ou2 i ~'— î. La réunion de ces deux sommes est le nombre de tousles cas possibles; ce nombre est donc i x — î ; ainsi la probabilité

que le nombre des boules extraites sera pair est — ; —- , et la

a — 1

probabilité que le nombre sera impair est ——- ; il y a donc de

l’avantage à parier avec égalité pour un nombre impair.

Si le nombre x est inconnu, et si l’on sait seulement qu’il nepeut excéder n, et que ce nombre et tous les inférieurs sont éga-lement possibles, on aura le nombre de tous les cas possibles re-latifs aux nombres impairs, en faisant la somme de toutes lesvaleurs de i x ~\ depuis x— î jusqu’à x=n, et il est facile de voirque cette somme est 2"- i. On aura pareillement la somme detous les cas possibles relatifs aux nombres pairs, en sommant lafonction 2 X “‘ — î, depuis x=i jusqu’à x = n, et l’on trouve cettesomme égale à 2" —ai; la probabilité d’un nombre pair est

doue alors-, et celle d’un nombre impair est —--.

Supposons maintenant que l’urne renferme le nombre x deboules blanches, et le même nombre de boules noires; on de-mande la probabilité qu’en tirant un nombre pair quelconquede boules, on amènera autant de boules blanches que de boulesnoires, tous les nombres pairs pouvant être également amenés.

Le nombre des cas dans lesquels une boule blanche de l’urnepeut se combiner avec une boule noire est évidemment x. x. Lenombre des cas dans lesquels deux boules blanches peuvent se

combiner avec deux boules noires est-———--, et ainsi

1.2 1.2

de suite. Le nombre des cas dans lesquels on amènera autant deboules blanches que de boules noires est donc la somme descarrés des termes du développement du binôme ( i-f-i) x , moinsl’unité. Pour avoir cette somme, nous observerons qu’elle est

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