220 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,égale au terme indépendant de a, dans le développement de

. ( i + (i

u

pendant de a, dans son développement, est ainsi le coefficient du

terme moyen du binôme (i + a) ,x : ce coefficient est ‘ . 2X •

J v ' (1.2 .3. x )* 1

le nombre des cas dans lesquels on peut tirer de l’urne autant deboules blanches que de boules noires est donc

1 .2.3.21

(1.2.3. xy l ’

Le nombre de tous les cas possibles est la somme des termesimpairs dans le développement du binôme (1+1)“, moins lepremier, ou l’unité. Cette somme est ÿ. ( 1 +1 ) SI +y. ( 1 — 1 ) ,x ; lenombre des cas possibles est donc 2 SX_1 —1; ce qui donne pourl’expression de la probabilité cherchée,

1 . 2.3 . IX

(i- 2.3.r)» 1

2 3X 1 —1

Dans le cas où a: est un grand nombre, cette probabilité se réduit,

par le n° 34 du premier livre, à-. ir étant toujours la demi-

y/ xtt

circonférence dont 1 est le rayon.

6. Considérons un nombre x+x d’urnes, dont la premièrerenferme^ boules blanches et 17 boules noires; la seconde, p boulesblanches et q' boules noires; la troisième, p" boules blanches etq boules noires, et ainsi de suite. Supposons que l’on tire succes-sivement une boule de chaque urne. Il est clair que le nombre detous les cas possibles au premier tirage est p+q; au second tirage,chacun des cas du premier pouvant se combiner avec les p+q'boules de la seconde urne, on aura {p+q)-(p'+q') pour le nombrede tous les cas possibles relatifs aux deux premiers tirages. Au troi-sième tirage, chacun de ces cas peut se combiner avec les p"+q

Y. Cette fonction est égale à

(1 + a) 1

. Le terme indé-