221

LIVRE DEUXIÈME.

boules de la troisième urne; ce qui donne {p+q).[p + ( ]')-(p"+ c l")pour le nombre de tous les cas possibles relatifs à trois tirages, etainsi du reste. Ce produit pour la totalité des urnes sera composéde x + x facteurs; et la somme de tous les termes de son dévelop-pement, dans lesquels la lettre p, avec ou sans accent, est répétéex fois, et par conséquent la lettre q, x fois, exprimera le nombredes cas dans lesquels on peut tirer des urnes, x boules blancheset x boules noires.

Si p, p, etc. sont égaux à p, et si q, q", etc. sont égaux à q, leproduit précédent devient ( i p+q) x ^ x> . Le terme multiplié parp x .q x ’ dans le développement de ce binôme est

(æ-hr'). (x+x 1 — 1 )... .(æ+ 1 )\.2.6....X

F-f

ou

1.2.3...(æ+æ')

1.2.3....X. 1 .2.6....X

,p x . q x

Ainsi cette quantité exprime le nombre des cas dans lesquels onpeut amener x boules blanches et x boules noires. Le nombrede tous les cas possibles étant [p -+-q )la probabilité d’amenerx boules blanches et x boules noires est

\ .2. 6. ..{x+x') / p \ x / q \ x '

i .2.6. ..x.\ .2.6. ..x" \p+qj \/ J + 7 / ’

où Ion doit observer que ~ est l a probabilité de tirer uneboule blanche de l’une des urnes, et que —est la probabilitéd’en tirer une boule noire.

Il est visible qu’il est parfaitement égal de tirer x boules blan-ches et x boules noires, de x-\-x urnes qui renferment cha-cune p boules blanches et q boules noires, ou d’une seule de cesurnes, pourvu que l’on remette dans l’urne la boule extraite àchaque tirage.