222 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Considérons maintenant un nombre x+x'+x" d’urnes dont lapremière renferme p boules blanches, q boules noires et r boulesrouges; dont la seconde renferme p boules blanches, q' boulesnoires et r boules rouges, et ainsi de suite. Supposons que l’ontire une boule de chacune de ces urnes. Le nombre de tous les caspossibles sera le produit des x-\-x-\-x* facteurs,

(p + q + r) . (p + q + t ) .(//'+ q + r) . etc.

Le nombre des cas dans lesquels on amènera x boules blanches,x boules noires et x" boules rouges, sera la somme de tous lestermes du développement de ce produit, dans lesquels la lettre psera répétée x fois; la lettre q, x fois et la lettre r, x" fois. Sitoutes les lettres accentuées p, q, etc. sont égales à leurs corres-pondantes non accentuées, le produit précédent se change dansle trinôme (/j-H </-M') *-*'-*-*". Le terme de son développementqui a pour facteur p x . q x '. r 1 ", est

1 .2.3...(x + x'-|-x") , „

- 5 ---«- -5 - V • 7 • ^ ;

1 .2.0...X. 1.2.3...X.1.2.0...X ' 1

ainsi le nombre de tous les cas possibles étant (/)la probabilité d’amener x boules blanches,#' boules noires, et x"boules rouges, sera

_ / P y ( V y' .1 r Y,

î .2.6... .XI .2.3...x'. 1.2.3...x"‘ \p-r</-hrj \l>-r<l^r) \p-i-<i-rrl

où l’on doit observer que —--,---,---sont les pro-

1 p—(j + r p+q + r p-hq-^-r 1

habilités respectives de tirer de chaque urne, une boule blanche,

une boule noire et une boule rouge.

On voit généralement que si les urnes renferment chacune

le même nombre de couleurs, p étant le nombre des boules de

la première couleur, q celui des boules de la seconde couleur,

r, s, etc. ceux des boules de la troisième, de la quatrième, etc.