22 h THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,

on aura donc

i .2.3...(x+i—i)i . 2 .3...(a;— i).i .2.3.

p x .[q+r+ etc.)'.(/)+<j^r+etc.) I '- x "‘ , ' rtt - " '- 1 , («)

pour le nombre des cas dans lesquels l’événement peut arriverprécisément au tirage x-\-i. Il faut cependant en exclure les casdans lesquels (j est élevé à la puissance x, ceux dans lesquels r estélevé à la puissance x\ etc. car dans tous ces cas il est déjà ar-rivé au tirage x+i—i , ou x boules noires, ou x" boules rouges,ou, etc. Ainsi dans le développement du polynôme {(j+r+etc.) 1 ilne faut avoir égard qu’aux termes multipliés par cj-f. rP. sP'. etc.dans lesquels/ est moindre que x ,f est moindre que x" ,f estmoindre que x , etc. Le terme multiplié par < 7 / rP. sP '. etc. dansce développement, est

i .2.3.... i

i.2.3.../.1.2.3.../'.i.2.3.../". etc.'

rJ .s

P. etc.

Tous les termes que l’on doit considérer dans la fonction (a)sont donc représentés par

_L?Aïi?+/+/' +etc -~ 1 )- . p*. nJ. rf. etc.

i . 2 .3...x — i.i .2.3.../.i .2.3.../'. etc.

X [p -+- </ H- r h— etc.)*'-”"-*- elc ' S-P - elc - - n ^‘ ; {b)

parce que i est égal à /-+-/'H- etc. Ainsi en donnant dans cettedernière fonction à / toutes les valeurs entières, depuis/=ojusqu’à J=x —i; à/' toutes les valeurs depuis f= o jusqu’àf =x — i, et ainsi de suite; la somme de tous ces termes expri-mera le nombre des cas dans lesquels l’événement proposé peutarriver dans x x -h etc. — n- hi tirages. Il faut diviser cettesomme par le nombre de tous les cas possibles, c’est-à-dire par} +r-r etc. )*"*"*'Si l’on désigne parp la proba-bilité de tirer une boule blanche d’une quelconque des urnes; par