LIVRE DEUXIÈME. 225

y celle d’en tirer une boule noire; par r celle d’en tirer une boulerouge, etc. on aura

P =

p+(j+r+ etc.

7

( l =

!>+<!+r+ etc.

p+(/-hr-\~ etc. ’

etc.

la fonction (6) divisée par (p h- <y -t-r-t-etc.)*""*'- ctc -devien-dra ainsi,

i . 2 . 3 ...(æ+/+/’'+ etc. —i)

- ——— - L - tj. t r t ff

o- o r ~ „ .p*.q J .r J . etc.

1 .2.3...Æ 1 . I .2.3.. .J. I .2.3.. .J . etc. 1 I

la somme des termes que l’on obtiendra en donnant à f toutesles valeurs depuisy=ojusqu’à f—x — i ; à/' toutes les valeursdepuis f=o jusqu’à /== x "— i, etc. sera la probabilité cherchéed’amener x boules blanches avant x boules noires, ou oc' boulesrouges, ou, etc.

On peut, d’après cette analyse, déterminer le sort d’un nombren de joueurs A, B, C, etc. dont p', ry', r, etc. représentent lesadresses respectives, c’est-à-dire, leurs probabilités de gagner uncoup, lorsque pour gagner la partie il manque x coups au joueurA, x coups au joueur B, x coups au joueur C, et ainsi de suite;car il est clair que, relativement au joueur A, cela revient à dé-terminer la probabilité d’amener x boules blanches avant 2/boulesnoires, ou x boules rouges, etc. en tirant successivement uneboule dun nombre x-\-x-h-oc '— n + i d’urnes qui ren-ferment chacune p boules blanches, <y boules noires, r boulesrouges, etc. p, <7, r, etc. étant respectivement égaux aux numéra-teurs des fractions p, <7', r, etc. réduites au même dénominateur.

8. Le problème précédent peut être résolu d’une manière fortsimple, par l’analyse des fonctions génératrices. Nommons y x>x ' >x \ elc ,la probabilité du joueur A pour gagner la partie. Au coup suivant,cette probabilité se change dans x -/ elc si A gagne ce coup,et la probabilité pour cela est p. La même probabilité se changedans <x - >ctc . si le coup est gagné parle joueur B, et la proba-

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