226 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

bilité pour cela est q; elle se change dans etc. si le coup est

gagné par le joueur C, et la probabilité pour cela est r, et ainside suite; on a donc l’équation aux différences partielles,

yx,x ,x , etc. - P • Jx— t,x, X , etc. I 9 'J x > x '— etc. r Yx,x , x“—i, etc.

Soit u une fonction de t, t', t", etc. telle que y x , x>x \* te. soit le coef-ficient de t x . t' x '. t" 1 ". etc. dans son développement; l’équation pré-cédente aux différences partielles donnera, en passant des coeffi-cients aux fonctions génératrices,

d’où l’on tirepar conséquent,

ce qui donne

u =u. (p't-hq't'-hr't"etc.)î =pt — q’t' -h rt" etc.

1 _ P'

t \ — qt — ri — etc.

î + x. [q't' + rt" 4 - etc.)

u.p

~T7t / jr

t x (î— q't'—r't — etc.)-

= u.

X, (x-f-1 ) / i t t u

—*- } -.[qt-rrt + etc.r

1.2 V7 1

1 ),(x-|“2) » f t f h \ 3 i

' , , 3 - ! .{qt+rt+elc.)‘\

etc.

Maintenant le coefficient de t°. t' x ' . t v . etc. dans j x est y x t x , x , etc.

et le même coefficient dans un terme quelconque du derniermembre de l’équation précédente, tel que ku. p' x . t' 1 ' .t" 1 " . etc. estkp’ x .y 0 ,x'-ï,x-i\ etc ; la quantité etc. est égale à l’unité,

puisqu’alors il ne manque aucun coup au joueur .4. De plus, ilfaut rejeter toutes valeurs de j 0 *'-f, etc. dans lesquelles /est égal ou plus grand que x, ï' est égal ou plus grand que x , etainsi de suite; parce que ces termes ne peuvent être donnés parl’équation aux différences partielles, la partie étant finie lorsque