228 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

de ces deux expressions doit être égale à l’unité; ce que l’on voitévidemment en leur donnant les formes suivantes. La premièreexpression peut, par le n° 37 du premier livre, être transforméedans celle-ci,

'x-t-x'

[x+x'—i) q' [x+x — i ).(x-4-æ'— 2 ) q '* j

ï TTâ V f.

[x + x — i)...(x+i) q' 1 '-' (’1.2.3-(a;'— 1 ) ‘

et la seconde peut être transformée dans celle-ci,

(x+x'— 1 ) p' [x+x'— 1 ).(x-f-x'— 2 ) p'* j

Ï ■? H ^ V f

[x+x — i)...(æ'+i) p >x —' (

1 .2 .3...(.r — 1 ) ' q' x ~' )

La somme de ces expressions est le développement du binômex + x '-\ et par conséquent elle est égale à l’unité; parce queA ou B devant gagner chaque coup, la somme ]>'-+-<{ de leursprobabilités pour cela est l’unité.

Le problème que nous venons de résoudre est celui que l’onnomme problème des parties dans l’analyse des hasards. Le chevalierde Meré le proposa à Pascal, avec quelques autres problèmes surle jeu des dés. Deux joueurs dont les adresses sont égales ontmis au jeu la même somme; ils doivent jouer jusqu’à ce que l’und’eux ait gagné un nombre de fois donné son adversaire; maisils conviennent de quitter le jeu, lorsqu’il manque encore a; pointsau premier joueur pour atteindre ce nombre donné, et lorsqu’ilmanque x points au second joueur. On demande de quelle ma-nière ils doivent se partager la somme mise au jeu. Tel est leproblème que Pascal résolut au moyen de son triangle arithmé-tique. Il le proposa à Fermât, qui en donna la solution par la voiedes combinaisons; ce qui occasionna entre ces deux grands géo-mètres une discussion, à la suite de laquelle Pascal reconnut la