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LIVRE DEUXIÈME.

bonté de la méthode de Fermât , pour un nombre quelconque dejoueurs. Malheureusement nous n’avons qu’une partie de leurcorrespondance, dans laquelle on voit les premiers éléments dela théorie des prohabilités, et leur application à l’un des pro-blèmes les plus curieux de cette théorie.

Le problème proposé par Pascal à Fermât revient à détermi-ner les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie;car il est clair que l’enjeu doit être partagé entre les joueurs,proportionnellement à leurs probabilités. Ces probabilités sontles mêmes que celles de deux joueurs A et B, qui doivent atteindreun nombre donné de points, x étant le nombre de ceux qui man-quent au joueur A, eï x' étant le nombre de ceux qui manquentau joueur B, en imaginant une urne renfermant deux boulesdont l’une est blanche et l’autre est noire, toutes deux portant len° 1 , la boule blanche étant pour le joueur A, et la boule noirepour le joueur B. On tire successivement une de ces boules, eton la remet dans l’urne après chaque tirage. En nommant y xxla probabilité que le joueur A atteindra le premier, le nombredonné de points, ou, ce qui revient au même, qu’il aura x pointsavant que B en ait x, on aura

y 2 ’Jx— i, x ^ I - 2 • y x, i ;

car si la boule que l’on extrait est blanche, y xx ' se change eny x - 1 ,*'» et si la boule extraite est noire, y x>x - se change enet la probabilité de chacun de ces événements est ÿ; on a doncl’équation précédente.

La fonction génératrice dey x x dans cette équation aux diffé-rences partielles est, par le n° 20 du premier livre,

1 /

1 -T t -rf

M étant une fonction arbitraire de t'. Pour la déterminer, nous