LIVRE DEUXIEME. 231

y x x ' est donc le coefficient de i x ' dans cette dernière quantité: or on a

t'

° 1 n 2 x 1 1 . 2 .o...(a; — î)

1 .2

I — t

En réduisant en série le dénominateur de cette dernière fraction,et multipliant le numérateur par cette série, on voit que le coeffi-cient de t' x ' dans ce produit est ce que devient ce numérateurlorsqu’on y fait f' = i; on a donc

2 *

i +x.—2

X.(x + l) 1 X. (x + l) . (x+2) I

1.2 *2* 1.2.3 ' 2 a

x.(x + i)..,(x+x'—2) 1

l.Q.3...(x'-l) ‘ 2 *'-

résultat conforme à ce qui précède.

Concevons présentement qu’il y ait dans l’urne une bouleblanche portant le n° 1, et deux boules noires, dont une portele n° 1, et l’autre porte le n° 2 ; la boule blanche étant favorableà A, et les boules ^noires à son adversaire, chaque boule dimi-nuant de son numéro le nombre de points qui manquent aujoueur auquel elle est favorable. y x>x ' étant toujours la probabilitéque le joueur A atteindra le premier le nombre donné, on aural’équation aux différences partielles

y x,-.

y*

y x,x -

y*,*-*

car au tirage suivant, si la boule blanche sort, y XtX > devient j x _ l x ,-si la boule noire numérotée 1 sort, y x>x < devient y*,*-,; et si laboule noire numérotée 2 sort, y x x ' devient et la proba-

bilité de chacun de ces événements estLa fonction génératrice de y Xi x - est

M

'v.