232 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

M étant une fonction arbitraire de t', qui doit, par ce qui pré-cède, avoir pour facteur t', et, dans le cas présent, être égale à

en sorte que la fonction génératrice de y XiX > est

Le coefficient de t* dans le développement de cette fonction est

i t' i

et il résulte de ce que nous venons de dire, que le coefficient de t' x 'dans le développement de cette dernière quantité est égal ày x , x ' •'or on a

t'

i , X.t\[l + t') X (x + l) + ,

1 \ 3 + 1.2 • 3 J (

3* (* ’) x ’6 X i x.(;r + i).(a: + 2 ) t' k .(i + t'Y t

H TX3 * 3* h

en rejetant du développement de cette série toutes les puissancesde t' supérieures à t' x ', et supposant dans ce que l’on conserve,t'—i, ce sera l’expression de y x>x '.

11 est facile de traduire ce procédé en formule. Ainsi, en sup-posant x pair et égal à 2 r -|-2 , on trouve

x. {x +1 )

' x,x '

^. (1 + a; . f +_ i t2Z2. ( | ) .. x.(x+i). (x+r-Q ,

i.2 V3 ' i. 2 .3.... r ' 3/ 1

£.(£ + 1 )-.(£+r) i. , , (r+i).r (r + i).r...a }

i.2.3...(r + i).3™‘‘ j ^ + J + i .2 1.2.3...r j

£.(£+1 )...(£+ r+i) ( , > (r+2).(r+i)....4j

£.(£+l).(£+2 r)

i .2.3.... (2 r-j-i). 3 I ' Hïr ' , '‘