LIVRE DEUXIÈME.

Si l’on suppose x impair et égal à 2 r-l-i, on aura

i l , x.(x+i) x.(x4-i)....(x+/'— 1 )

y,,.= ¥ ]'+*■$+ .+ , ,a.3...r --

, x.(x+i)...(x + r)

233

•d) r

i .2.3...(r+i).3*

-.! + (/’ + ]) +

(r + i). r

I .2

+

(r+i)-r.3 )

î .2.3...(r—i )j

x.(x+i)...(x+r+ i) ( / x. (r+ 2 ).(r+i) (r-+- 2 ).(r-Hi)..^5j

i .2.3...(r+2).3 1 ^ rH " , ‘| ' '~ r

1 .2

i.2.3...(r— 2 )

x. (x + i )... (x+ 2 r— î)

1.2.3.2r.3 IH_lr

Ainsi dans le cas de x =2 et x — 5, on a

35o

7 2 9

Concevons encore qu’il y ait dans l’urne deux boules blanchesdistinguées, comme les deux boules noires, par les n 05 î et 2 ; laprobabilité du joueur A sera donnée par l’équation aux différencespartielles

y x,x> ~î-y x—\,x< h i~ ~^-y x—i,x> h - t*,/*» *'—> T'y *,*'—» •

La fonction génératrice de y x>x , est alors, par le n° 20 du premierlivre,

M+N. t

M et N étant deux fonctions arbitraires de t. Pour les déterminer,on observera que j ox , est toujours égal à l’unité, et qu’il fautexclure dans M la puissance nulle de t’ ; on a donc

Pour déterminer A 7 , cherchons la fonction génératrice de j liX ,. Sil’on observe quej 0iX , est égal à l’unité, et que le joueur A n’ayantplus besoin que d’un point, il gagne la partie, soit qu’il amène la

TOME VII. 30