236 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

lorsqu’on y change t en t', et réciproquement; ce qui donne pourcette fonction,

(-')■(,-7

En ajoutant les deux fonctions génératrices, leur somme se ré-duit à

t t' U'

dans laquelle le coefficient f.t est l’unité; ainsi l’on a

y x,x>-^- z x,x > =l ;

ce qui est visible d’ailleurs, puisque la partie doit être nécessai-rement gagnée par l’un des joueurs.

9 . Concevons dans une urne r boules marquées du n°i, rboules marquées du n° i , r boules marquées du n° 3 , et ainsi desuite jusqu’au n° n. Ces boules étant bien mêlées dans l’urne, onles tire toutes successivement; on demande la probabilité qu’ilsortira au moins une de ces boules, au rang indiqué par son nu-méro, ou qu’il en sortira au moins deux, ou au moins trois, etc.

Cherchons d’abord la probabilité qu’il en sortira au moins une.Pour cela, nous observerons qu’aucune boule ne peut sortir à sonrang que dans les n premiers tirages : on peut donc ici faireabstraction des tirages suivants; or le nombre total des boulesétant rn, le nombre de leurs combinaisons n à n, en ayant égardà l’ordre quelles observent entre elles, est, par ce qui précède,

rn.[rn — î )-[rn — 2). . . . [rn — n -h 1) ;

c’est donc le nombre de tous les cas possibles dans les n premierstirages.

Considérons une des boules marquées du n° 1, et supposonsquelle sorte à son rang, ou la première. Le nombre des combi-naisons des rn — 1 autres boules, prises n —1 kn —1, sera[rn —1 )-[rn — 2). . . .[rn — n- f-i);