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LIVRE DEUXIÈME.

c’est le nombre des cas relatifs à la supposition que nous venonsde faire; et comme cette supposition peut s’appliquer aux r boulesmarquées du n° 1, on aura

r.[rn —1 ).(rn — 2). [rn — rc-bi)

pour le nombre des cas relatifs à l’hypothèse qu’une des boulesmarquées du n° 1 sortira à son rang. Le même résultat a lieupour l’hypothèse qu’une quelconque des n — 1 autres espèces deboules sortira au rang indiqué par son numéro; en ajoutant donctous les résultats relatifs à ces diverses hypothèses, on aura

nr.(rn — i).(rn — 2).( rn — n- bi), (a)

pour le nombre des cas dans lesquels une boule au moins sortiraà son rang, pourvu toutefois que l’on en retranche les cas quisont répétés.

Pour déterminer ces cas, considérons une des boules du n° 1sortant la première, et une des boules du n° 2 sortant la se-conde. Ce cas est compris deux fois dans le nombre précédent;car il est compris une fois dans le nombre des cas relatifs à lasupposition qu’une des boules numérotées 1 sortira à son rang,et une seconde fois, dans le nombre des cas relatifs à la supposi-tion qu’une des boules numérotée 2 sortira à son rang ; et commecela s étend à deux boules quelconques sortant à leur rang, onvoit qu’il faut retrancher du nombre des cas précédents le nombrede tous les cas dans lesquels deux boules sortent cà leur rang.

Le nombre des combinaisons de deux boules de numéros diffé-

rents est

n.(n-i)

.r 5 ; car le nombre des numéros étant n, leurscombinaisons deux à deux sont au nombre —— ; et dans cha-

1.2

cune de ces combinaisons, on peut combiner les r boules mar-quées d’un des numéros, avec les r boules marquées de l’autrenuméro. Le nombre des combinaisons des rn — 2 boules restantes,