244 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

C’est donc l’expression fort approchée de la probabilité qu’aucunedes boules de l’urne ne sortira à son rang lorsqu’il y a un grandnombre de boules. Le logarithme hyperbolique de cette expres-sion étant

i i

— î-75— — etc.

2 n on'

on voit quelle va toujours en croissant à mesure que n augmente;quelle est nulle lorsque n = i, et quelle devient lorsque n est

infini, c étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbo-lique est l’unité.

Concevons maintenant un nombre 1 d’urnes renfermant cha-cune le nombre n de boules, toutes de couleurs différentes; etque l’on tire successivement toutes les boules de chaque urne.On peut, par les raisonnements précédents, déterminer la proba-bilité qu’une ou plusieurs boules de la même couleur sortiront aumême rang dans les i tirages. En effet, supposons que les rangsdes couleurs soient réglés d’après le tirage complet de la premièreurne, et considérons d’abord la première couleur : supposons qu’ellesorte la première dans les tirages des 1 — 1 autres urnes. Le nombretotal des combinaisons des n —1 autres couleurs dans chaque urneest, en ayant égard à leur situation entre elles, 1.2.3... ( n —1 );ainsi le nombre total de ces combinaisons relatives aux i— 1urnes, est [ 1.2.3... (n — 1 : c’est le nombre des cas dans les-

quels la première couleur est tirée la première à la fois de toutesces urnes; et comme il y a n couleurs, on aura

n. [i.2.3.... [n — 1 )

pour le nombre des cas dans lesquels une couleur au moins ar-rivera à son rang dans les tirages des i —1 urnes. Mais il y a,dans ce nombre, des cas répétés; ainsi les cas où deux couleursarrivent à leur rang dans ces tirages sont compris deux fois dans