LIVRE DEUXIÈME. 249

pareillement T le coefficient de t dans le développement de u, leT'

produit de - , par la fonction (i) sera la fonction génératrice

du second membre de l’équation précédente ; cette fonction estdonc égale à u. Supposons x=a~hb, alors y XtI , devient et

cette quantité est égale à l’unité; car il est certain que A a gagnéla partie, lorsqu’il a gagné tous les jetons de B; u est donc alorsla fonction génératrice de l’unité; or x est ici zéro ou un nombrepair, carie nombre des coups dans lesquels A peut gagner la partieest égal à b plus un nombre pair; en effet, A doit, pour cela, gagnertous les jetons de B, et de plus il doit regagner chaque jeton qu’ila perdu, ce qui exige deux coups. Ensuite n exprimant un nombrede coups dans lequel A peut gagner la partie, il est égal à b plusun nombre pair; x étant le nombre des coups qui manquent aujoueur A pour arriver à n, est donc zéro ou un nombre pair. De

là il suit que dans le cas de x=a-i- b, u devient y-y; ; on adonc

77 ~bp<1

1 —U

ce qui donne la valeur de T'. En la multipliant par la fonction (/)divisée par 2 a .p a ~\ et dans laquelle on fait x=a, on aura la fonc-tion génératrice de y a>x , égale à

2 b .p b .t' b .[{i+\ji-hpq.t' i Y-{ i -\/i-lipq.t’ i ) a ] (o]

( 1 -/'*).[( 1 +V1-4 pq. (')***—(1 -\Ji-l\pq.t , ') a ~ b ]

Dans le cas de a=b, elle devient

i a . p a . t' a

(1 - ^'*)-[( i-f-V 1 — kpq 1 —&pq.t'*Y\

TOME VII.

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