LIVRE DEUXIEME.

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puissances de t' supérieures à a. Ce second membre doit être,par ce qui précède, divisé par 1 — 1'\ pour avoir la fonction gé-nératrice de y„ iXl ; la quantité y aiX , est donc la somme des coefficientsdes puissances de t', en ne considérant dans le développement dece membre, par rapport aux puissances de t', que les puissanceségales ou inférieures à x. Chacun de ces coefficients exprimerala probabilité que A gagnera la partie au coup indiqué par l’expo-sant de la puissance de t'.

Si l’on nomme z, le coefficient correspondant à f w, ‘, on auragénéralement

-■Zi — a.ptf.Zi^

a.[a — 3)

. py. z,_,

1 .2

etc.

d’où il est facile de conclure les valeurs de z„z„ etc. en observantque z_„ z_„ etc. sont nuis, et que z 0 = p". La valeur de z, étantégale à j a>aH _„-—, on aura celle de y a , a ,y airM ,y UiM , etc. L’é-quation aux différences partielles à laquelle on est immédiatementconduit se trouve ainsi ramenée à une équation aux différencesordinaires qui détermine, en l’intégrant, la valeur de y aA ,. Maison peut obtenir cette valeur par le procédé suivant, qui s’appliqueau cas général où a et b sont égaux ou différents entre eux.

Reprenons la fonction génératrice de j ox , trouvée ci-dessus;y ttjX , est le coefficient de t x ’~ b dans le développement de la fonction

en supposant

/j_ (i + V i —V/.<' , ) a — ( i -y/i-4/n/. *'*)“

\J\ — kp(f. P

q = (i-f-Vi —4/jy-/ a )^—(i—y i-hpg.t' i )*- h\J i — kpq.P