256 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

a-t- 2 i étant supposé un très-grand nombre fort supérieur aunombre a, il suffit de considérer le terme du premier membrequi correspond à s nul, et alors on a

a -+- 2 1 -+1 =

lo, (' g - ( j- - ').sin.^-& ' 2 k 2 a

log. ( cos.-

ces logarithmes pouvant être à volonté hyperboliques ou tabulaires.

Si dans les formules précédentes on suppose a infini, 4 restantun nombre fini, on aura le cas dans lequel le joueur A joue contrele joueur B qui a primitivement le nombre b de jetons, jusqu’àce qu’il ait gagné tous les jetons de B, sans que jamais celui-cipuisse gagner A, quel que soit le nombre des jetons qu’il lui gagne.Dans ce cas, la fonction génératrice (o) de y a>x , se réduit à

\ f

(i— #'*).( i -i- 1 — 4/>v- t'*) b

car alors (i —\J i—et (i— \J \—4 pq. dévelop-

pés, ne renferment que des puissances infinies de t', puissancesque l’on doit négliger, quand on ne considère qu’un nombre finide coups. On a, par ce qui précède,

(i+v/i —4/>ÿ.

i / /, 4.(6+3) , , 6.(4+4).(4+5) , i

i ^ i+b.pq. f+-- ^- --pY- < + ,.3.3 - (j 1 I

... +

4.(4 + i + i).(4 + i+ 2 ) — ( 4+21 — 1 ). p l q l . t'*‘

1.2.3-I

+ etc.

2 ^. p ^

En multipliant ce second membre parsera

le coefficient de

i + 4. pcj +

4.(4+3)

1.2

•pV-

4.(4+i +1 ). (4 —|— 1 —(— 2 ).... (4—(— 2 i 1 )'P‘q‘

1 .2.3.... i