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LIVRE DEUXIÈME.

et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il perde, ou jusqu’à ce qu’il ait gagnésuccessivement tous les joueurs. Dans ce dernier cas, la partie estfinie. Mais si le joueur gagnant au premier coup est vaincu parl’un des autres joueurs, le vainqueur joue avec le joueur suivant,et continue de jouer jusqu’à ce qu’il soit vaincu, ou jusqu’à cequ’il ait gagné de suite tous les joueurs. Le jeu continue ainsijusqu’à ce qu’il y ait un joueur qui gagne de suite tous les autres,ce qui finit la partie, et alors le joueur qui la gagne emportetout ce qui a été mis au jeu. Cela posé,

Déterminons d’abord la probabilité que le jeu finira précisémentau coup x: nommons z x cette probabilité. Pour que la partie finisseau coup a;, il faut que le joueur qui entre au jeu au coupa; — n-+- 1,gagne ce coup et les n —1 coups suivants; or il peut entrer contreun joueur qui n’a gagné qu’un seul coup : en nommant P la pro-

P

habilité de cet événement, — sera la probabilité correspondanteque la partie finira au coup x. Mais la probabilité z x __, que la partie

p

finira au coup x —1, est évidemment Car il est nécessaire

pour cela qu’il y ait un joueur qui ait gagné un coup, au coupx —zi-+-1, et qui jouant à ce coup, le gagne et les n — 2 coupssuivants; et la probabilité de chacun de ces événements étant P et

la probabilité de l’événement composé sera -^ =r ; on aura

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donc z x _.,= et par conséquent,

y.z x _, est donc la probabilité que la partie finira au coup x, rela-tive à ce cas.

Si le joueur qui entre au jeu au coup x — n-h î joue à ce coupcontre un joueur qui a déjà gagné deux coups; en nommant P'la